Clasa a VIII-a - Inecuaţii în R - exerciţiul nr. 19 - pag. 39, Manual Matematică, editura LITERA

 

                      Dragilor,

                    Am încercat să rezolv ex. 19, de la pagina 39.   

                    Prin urmare, am pornit la determinarea elementelor fiecărei mulţimi, pentru rezolvarea punctului a al exerciţiului.

                    

                    Pentru mulţimea A, care este un raport, trebuie să stabilesc când acest raport    rămâne pozitiv. Pentru aceasta, egalez atît numărătorul, cât şi numitorul cu zero !

                    => x + 1 = 0 => x = -1 

             Pentru valori mai mici decît -1, spre exemplu x=-2, x + 1 = -2 +1 = -1 < 0 

             Pentru valori mai mari decît -1, spre exemplu x=+2, x + 1 = +2 +1 = +3 > 0 

                    = > 4x - 12 = 0 => 4x = 12 => x = 3

             Expresia 4x-12 fiind la numitor, aceasta nu poate lua valoarea 0, deoarece raportul nu ar avea sens !

             Pentru valori mai mici decît +3, spre exemplu x=0, 4x - 12 = - 12 < 0 

             Pentru valori mai mari decît +3, spre exemplu x=+4, 4x - 12 = 16 - 12 = +4 > 0 

               Prin urmare, putem completa un tabel de valori, aşa cum este prezentat mai jos ! 

                Deducem că pentru valori mai mici decât +1, raportul va avea semnul pozitiv, deoarece avem de împărţit un număr negativ la alt număr negativ !

        De asemeni, deducem că pentru valori mai mari decât +3, raportul va avea semnul pozitiv, deoarece avem de împărţit un număr pozitiv la alt număr pozitiv !

              Aşadar, A = (- ∞, -1) Ս (3, +∞)

              Pentru mulţimea B, avem de rezolvat o dublă inegalitate !

                3x + 8  ≥ 4x + 5 ≥ 2x - 1

         Deoarece avem termeni cu x în fiecare parte, vom împărţi inegalitatea dublă în două inegalităţi simple !

              Aşadar, vom avea două inegalităţi care vor trebui să fie îndeplinite în acelaşi timp !

              I. 3x + 8  ≥ 4x + 5                           şi     II. 4x + 5 ≥ 2x - 1

                => 3  ≥ x                                                    2x ≥ - 6 => x ≥ -3

              Avem  x ≤ 3 şi x ≥ -3, condiţii ce trebuie respectate în acelaşi timp.

              Aşadar, B = [- 3, 3 ]

              Pentru mulţimea C, avem de asemeni, o dublă inegalitate, în care x apare doar într-un termen !  

- 2  ≤  (3x + 1) / 4  ≤ 4

              Aducem la acelaşi numitor, înmulţind cu 4 !

                   =>  - 8   ≤  3x + 1 ≤  16   

              Putem merge cu dubla inegalitate, scăzând 1 şi împărţind la 3 !

                  =>  - 8 - 1   ≤  3x + 1 - 1 ≤  16 - 1

                  =>  - 9   ≤  3x  ≤  15     

                  =>  - 3   ≤  x  ≤  5 

              Aşadar, C = [- 3, 5 ]

              La punctul b al exerciţiului se cere să arătăm că C - A = B

              Să ne reamintim ce înseamnă diferenţa a două mulţimi C - A ! ..... vor fi elementele din mulţimea C care nu aparţin mulţimii A !

              Dacă reprezentăm pe o axă ambele mulţimi- C cu roşu şi A cu verde, vom observa uşor că C - A = [-1, 3], interval care nu coincide cu mulţimea B ! 

              Ne întrebăm, pe bună dreptate, unde am greşit ?! Poate la determinarea mulţimilor A, B şi C !

              Cum putem verifica dacă mulţimile sunt corecte ?! Dând valori lui x !

              Să recapitulăm !

              

              A = (- ∞, -1) Ս (3, +∞)
                

                 Ptr x = -2 ᣧ (- ∞, -1)   => (-2+1) / [4 * (-2) -12] = (-1) / (-20) = 1 / 20 > 0, ceea ce verifică intervalul găsit !

                 Ptr x = + 5 ᣧ (3, +∞)  => (5+1) / 4*5 -12 = 6 / 8 = 3 / 4 > 0, ceea ce verifică intervalul găsit !

                Ptr x = 0 ᣧ [-1, 3]  => 0+1 / 4*0-12 = 1 / (-12) = -1/12 < 0, ceea ce verifică, de asemenea, intervalul propus !

             B = [- 3, 3 ] ptr      3x + 8  ≥ 4x + 5 ≥ 2x - 1

                Ptr x = 0 ᣧ [-3, 3]  => 8  ≥  5  ≥ -1, ceea ce este corect,  deci verifica intervalul propus !

                Ptr x = -4, care e în afara intervalului [-3, 3]  => 3(-4) + 8  ≥ 4 (-4) + 5 ≥ 2 (-4) -               1<=>  - 4 ≤  -11  ≤ -9, ceea ce este incorect,  deci verifica intervalul propus !

                Ptr x = +4, care e în afara intervalului [-3, 3]  => 3*4  ≥ 4*3 + 5 ≥ 2*4 - 1 <=>                12 ≥ 17 ≥ 7  <=> ceea ce este incorect,  deci verifica intervalul propus !

            C = [- 3, 5 ] ptr - 2  ≤  (3x + 1) / 4  ≤ 4

                Ptr x = 0 ᣧ [-3, 5]  => - 2  ≤  1 / 4  ≤ 4, ceea ce este corect, deci verifica intervalul propus !

                Ptr x = -4, care e în afara intervalului [-3, 5]  =>- 2  ≤  [3(-4) + 1] / 4  ≤ 4                       <=>  - 2  ≤  -11  ≤  4, ceea ce este incorect,  deci verifica intervalul propus !

                Ptr x = +6, care e în afara intervalului [-3, 5]  => - 2  ≤  3*6 + 1 / 4  ≤ 4 <=>                        -2 ≤ 19/4  ≤ 4  <=> - 2  ≤  4,75  ≤  4, ceea ce este incorect,  deci verifica intervalul propus !

                Aşadar, intervalele mulţimilor sunt corecte !

                Am putea îndrăzni să gândim că e, cumva, o greşeală de tipar ?! .....