Vă propun să rezolvăm următoarea expresie:
E(x) = (2x+3)^2 - (x-3)(x+7) - 2(x-2)^2, unde x este numar real.
Se cere apoi să determinăm numărul real a, pentru care E(a) are cea mai mică valoare posibilă.
Ridicăm la pătrat şi grupăm termenii dupa puteri.
E(x) = 4x^2 + 2*6x + 9 - (x^2 - 3x + 7x - 21) - 2 (x^2 - 4x + 4) = 4x^2 + 12x + 9 - x^2 - 4x +21
- 2x^2 + 8x - 8 = x^2 + 16x + 22
E(a) se obţine înlocuind x cu a in E(x): E(a) = a^2 + 16a + 22
Pentru a afla minimul acestei expresii trebuie să rescriem această expresie încercând să completăm primii doi termeni cu un al treilea termen, care să întregească un binom.
Ştim ca (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Avem a^2 iar 2ab = 16a => b = 8
=> E(a) = (a^2 + 2*8*a + 8^2) - 8^2 + 22 = (a + 8)^2 - 64 + 22 = (a+8)^2 -42
Am rescris astfel expresia, astfel încât putem să gândim urmatorul raţionament: (a+8)^2 va fi un număr > sau egal cu 0, prin urmare putem spune despre expresia noastră că va fi minimă când (a+8)^2 = 0, adică a+8 = 0 => a = - 8
Să exersăm determinarea minimului unei expresii pe mai multe exemple.
a. E(a) = a^2 + 4a +10 = (a^2 + 4a + 4) - 4 + 10 = (a+2)^2 +6
Deoarece un număr ridicat la pătrat va fi intotdeauna mai mare sau egal cu 0 => expresia va avea valoarea minimă când a+2 = 0 => a = -2
b. E(x) = x^2 +10x +13 = (x^2 + 2*5x + 5^2) - 25 +13 = (x+5)^2 - 12
Deoarece un număr ridicat la pătrat va fi intotdeauna mai mare sau egal cu 0 => expresia va avea valoarea minimă când x+5 = 0 => x = -5
c. E(x) = x^2 +6x +11 = (x^2 + 2*3x + 3^2) - 9 +11 = (x+3)^2 + 2
Deoarece un număr ridicat la pătrat va fi intotdeauna mai mare sau egal cu 0 => expresia va avea valoarea minimă când x+3 = 0 => x = -3
d. E(x) = x^2 + x + 2 = [x^2 + 2*x *(1/2) + (1/2)^2] - 1/4 + 2 = (x+1/2)^2 + 7/4
Deoarece un număr ridicat la pătrat va fi intotdeauna mai mare sau egal cu 0 => expresia va avea valoarea minimă când x+1/2 = 0 => x = -1/2
e. E(x) = x^2 + x + 4 = [x^2 + 2*x*(1/2) + (1/2)^2] - 1/4 +4 = (x+1/2)^2 + 15/4
Deoarece un număr ridicat la pătrat va fi intotdeauna mai mare sau egal cu 0 => expresia va avea valoarea minimă când x+1/2 = 0 => x = -1/2
Comentarii
Trimiteți un comentariu