Aceasta este problema pe care v-o propun astăzi.
a. Diagonala într-un pătrat este l rad2 => AC = 12 * rad2.
b. 
Diagonalele AC // A'C' => AO // O'C', dar AO = O'C' => AOC'O' paralelogram => OC' // AO' şi cum AO' este inclusă în (AB'D') => OC' // (AB'D')
c. 
Ştim că B'D' perp A'C' şi AC // A'C' => B'D' perp AC =>B'D' perp (AC, A'C') => B'D' perp (ACC'A') = > B'D' perp A'C
Ca să dovedim că A'C perp (AB'D') trebuie să arătăm că este perp pe două drepte din acest plan.
Una am dovedit-o ! AC' perp B'D'. Dacă arătăm că este şi perp pe AO' am rezolvat problema !
Secţiunea diagonală în plan arată aşa
Avem A'O' = O'C'= AO = OC = 6 rad 2; AA' = CC' = 12; putem afirma ca tri AA'O' este congruent cu tri C'CO: AA' = CC'; A'O' = CO; <A' = <C = 90 grd => caz CC in tri dreptunghice => <A'AO' = <CC'O şi <AO'A' = <COC' => <O'AO = <OC'O' (ca complemente ale <A'AO' si <CC'O), precum si <AO'C'=<AOC' (ca suplemente ale <AO'A' si <COC' )
De aici observăm că în patrulaterul AOC'O' unghiurile opuse sunt congruente => AOC'O' este paralelogram => AO'=OC' si AO' // OC'
De aici, in tri A'NC' => MO' // NC' şi cum A'O=O'C' => A'M = MN
La fel, in tri CAM => NO // MA si cum OC=OA => MN = NC
=> A'M = MN = NC = A'C/3 = l rad3 / 3 = 12 rad 3 / 3 = 4 rad 3
In tri AA'O', putem calcula AO' - ipotenuza, cu Pitagora, având lungimile catetelor AA' = 12 si A'O' = 6 rad 2 => AO' = 6 rad 6
Dacă in acest tri ducem înălţimea din A' pe AO', lungimea înălţimii intr-un tri dreptunghic este produsul catetelor/ipotenuza
=> h din A' pe AO' = 12 * 6 rad 2 / 6 rad 6 = 2 * 2 rad 3 = 4 rad 3
De aici se deduce că înălţimea din A' pe AO' este chiar A'M. Similar se va dovedi şi că CN este înălţimea din C pe C'O.
Şi astfel am putut dovedi că A'C este perp pe AO'. Avem A'C perp AO', A'C perp B'D' => A'C perp (AO', B'D') => A'C perp (AB'D')
Comentarii
Trimiteți un comentariu