Clasa a VIII-a - Problemă geometrie, primită de la un elev

La început de studiu în ale geometriei în spaţiu mi se pare foarte potrivită această problemă!

Să lămurim nişte noţiuni ! 

O piramidă triunghiulară regulată are baza un triunghi echilateral şi feţele laterale sunt triunghiuri isoscele ! 

A nu se confunda cu tetraedrul regulat, care are toate feţele triunghiuri echilaterale !

Prin urmare, muchiile laterale AB=AC=AD, iar baza este triunghi echilateral. 

Să pornim de la bază, într-ucât ştim aria acesteia. Ne amintim formula generală a ariei unui triunghi,

 $A\ =\frac{B\times h}{2}$  

În acest triunghi avem DM - înălţime, mediană, mediatoare, bisectoare (în triunghiul echilteral toate liniile importante în triunghi coincid). Aşadar, DM - înălţime.

Vrem să-i aflăm valoarea. O încadrăm într-un triunghi dreptunghic, triunghiul DMC

Aplicăm T. Pitagora ştiind DC = l şi MC = l/2 pentru aflarea lui DM - catetă

==> 

 $DM^2\ =\ DC^2\ -MC^2$ 

 $DM^2\ =\ l^2\ -\left(\frac{l}{2}\right)^2$ 

 

 $DM^2\ =\ l^2\ -\frac{l^2}{4}=\frac{3l^2}{4}$ 

 Adică, 

 $DM^{ }\ =\ \frac{l\sqrt{3}}{2}=>h\ ech\ =\ \frac{l\sqrt{3}}{2}$ 

   Pentru această formulă este de reţinut modalitatea ei de obţinere ! 

 $Aech\ =\ \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$  Însă, din datele problemei avem aria bazei:

 $\frac{81\sqrt{3}}{4}\ =\ \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$ 

De aici, prin identificare obţinem latura bazei l = 9 cm.

Ne întoarcem la problema noastră în spaţiu ... şi fructificăm cealaltă informaţie furnizată de problemă AB⟂ AC⟂ AD⟂ AB !

Avem, aşadar spre vîrful piramidei trei triunghiuri isoscele - triunghiul DAB, BAC şi CAD, dreptunghice în vârful A !

Considerăm unul dintre aceste triunghiuri, în care avem cunoscută latura din bază, BC = 9 cm, în exemplul dat.

Notăm muchia laterală cu m  ==> AB = AC = m

Aplicăm şi aici T. Pitagora, ştiind ipotenuza BC.

 $AB^{2\ }+\ AC^2\ =\ BC^2\ =>\ 2\times m^2\ =81\$  de unde:

 $m^2=\frac{81}{2}=>m=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$