În figură este reprezentat triunghiul ABC, cu AB=3 cm. Pe planul triunghiului echilateral ABC se construieşte perpendiculara PA, pe care se consideră punctul Q astfel încât punctul QA = QP/3 şi QA = 1 cm.
cos < ((ABC), (BQC)) = cos < (ARQ) = AR / QR = 3 rad3/2 : rad31 / 2 = 3 rad3/2 * 2/ rad31 = 3 rad93/31
a. aflaţi aria triunghiului ABC
b. calculaţi distanţa de la punctul P la dreapta BC
c. calculaţi cosinusul unghiului dintre planele (ABC) şi (QBC)
Rezolvare
a. Triunghiul ABC este un triunghi echilateral. Aria acestui tip de triunghi este A=l*l rad3/4 => AABC = 3 * 3 * rad3 / 4 = 9 rad3 / 4
b. Se pune întrebarea unde anume va cădea această înălţime. Dacă ne ajutăm de înălţimea din triunghiul ABC, vom putea scrie T3P (Teorema celor 3 perpendiulare). Astfel,
PA perp (ABC)
AR perp BC
AR, BC incluse in (ABC)
AR intersecteaza BC = {R} => PR perp BC => d(P, BC) = PR
Din triunghiul PAR dreptunghic <A=90 grd, putem afla scriind T. Pitagora:
PR * PR = AP * AP + AR * ARDaca AQ = 1 cm => QP = 3 * AQ = 3 cm => AP = 4 cm
AR este înălţimea în triunghiul echilateral ABC => AR = l rad3 / 2 => AR = 3 rad3/2
=> Înlocuind, vom avea PR * PR = 16 + 27/4 = (64+27)/4 = 91/4 => PR = rad91 / 2
=> d(P, BC) = PR = rad91 / 2
c. Pentru a afla unghiul dintre cele doua plane, (ABC) si (BQC) va trebui să determinăm dreapta de intersecţie a acestora. Aceasta este BC.
Pe aceasta trebuie să ducem două perpendiculare, pe care le aleg AR si QR (deoarece tri BQC este isoscel, punctul R va fi, de asemenea, mijlocul segmentului BC).
deoarece triQAR este dreptunghis in A, intr-ucât PA este perp pe (ABC) => PA este perp si pe AR
Tot din acest tri dreptunghic QAR putem socoti cu T. Pitagora QR*QR = QA*QA+AR*AR = 1 + 27/4 = (4+27)/4 = 31/4 => QR = rad31/2
Sunt numere nu tocmai "frumoase", dar nu trebuie sa ne speriem de ele !
Comentarii
Trimiteți un comentariu