Revin la testul 21 pentru a vă prezenta o altă variantă de rezolvare decât cea indicată de barem !
a. A ABCD = l^2 = 4^2 = 16 cm^2
b. Unesc pe A' cu M si D. Se formează triA'MD, în care se cere h(A', DM) !
Pentru început, cercetez triA'MD. Pot identifica uşor lungimile laturilor:
A'M^2 = AA'^2 + AM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 => A'M = 5 cm
A'D = 4 rad2 (diagonala într-un pătrat)
DM ^2 = AD^2 + AM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 => DM = 5 cm
=> tri A'DM este isoscel, cu A'M = DM
Într-un astfel de triunghi ştiu să determin înălţimea dusă din unghiul format de cele doua laturi congruente ! Astfel, h(M, A'D)^2 = A'M^2 - (A'D/2)'^2 = 25 - (2 rad2)^2
=> h(M, A'D)^2 = 25 - 8 = 17 => h(M, A'D) = rad17
A tri A'MD = A'D * h(M, A'D) / 2 = 4 rad2 * rad17 / 2
A tri A'MD = DM * h(A', DM) / 2 = 5 * h(A', DM) / 2
=> 5 * h(A', DM) = 4 rad2 * rad17 => h(A', DM) = 4 rad34 / 5
*. Baremul merge pe varianta unor triunghiuri congruente în triunghiul bazei, care conduce la faptul ca DE este perp pe AN si din T3perp => A'E este perp pe DM.
Prin urmare d(A', DM) = A'E, care e determinată cu T. Pitagora in triA'AE.
c. Pentru a găsi măsura unghiului dintre <(AD, (ANA')) trebuie să proiectăm AD pe plan. A aparţine deja planului iar D se va proiecta într-un punct G, astfel încât DG este perp pe AN. Deci ducem DG perp pe AN, DG perp AA' (AA' este perp pe planul bazei => AA' este perp pe orice dreapta din plan => AA' perp pe DG) =>
DG va fi perp (AN, AA') => m<(AD, (ANA')) = m<(DAG)
sin <(AD, (ANA')) = DG / AD
Mai am de aflat DG, pe care îl scot din exprimarea ariei în două moduri.
A tri ADN = DG * AN / 2 = DG * 5 / 2
A tri ADN = A ABCD - A tri DCN - A tri ABN = 4^2 - DC*CN / 2 - AB*BN / 2 =
16 - 4 * 1 / 2 - 4 * 3 / 2 = 16 - 2 - 6 = 8 cm^2
=> DG * 5 / 2 = 8 = > DG = 16 / 5
Revenim la sin <(AD, (AN A')) = DG / AD = 16 / 5 : 4 = 16 / 5 * 1 / 4 = 4 / 5
Concluzie: Punctele E, E' si G coincid, însă demonstrarea cerinţelor se putea face fără această precizare.
Comentarii
Trimiteți un comentariu