Clasa a VIII-a - Strategii de demonstrare a coliniarităţii

Dragilor,

Paşte liniştit şi inedit ! 

Pentru că începem săptămâna luminată, doresc să fac un pic lumină în modalităţile de a demonstra coliniaritatea a trei puncte şi să vă prezint cele mai importante strategii de demonstrare a coliniarităţii.

 

1.    1.  Strategia bazată pe demonstrarea unui unghi alungit

 

Dacă m(< ABC) = 180 grd. => A, B şi C coliniare

 

 

2.     2. Strategia bazată pe unicitatea paralelei dusă dintr-un punct exterior la o dreaptă dată

 

Dacă demonstrăm că AB, AC ǁ cu  dreapta d => A, B şi C coliniare

Dacă demonstrăm că AB, BC ǁ cu dreapta d => A, B şi C coliniare

Dacă demonstrăm că AC, BC ǁ cu dreapta d => A, B şi C coliniare

 

Aplicaţie

 

Fie B’ si C’ mijloacele laturilor AC, respectiv AB, ale unui triunghi ABC. Sa se demonstreze ca, mijloacele inaltimii, bisectoarei si medianei corespunzatoare varfului A se afla pe dreapta B’C’.

 

M, N; P - mijloacele înălţimii, bisectoarei şi medianei din ǁ

În Δ ABC: B’C’ – linie mijlocie =>B’C’ ǁ BC

În Δ ABD: MB’ – linie mijlocie =>B’M  ǁ BC => B’, M, C’ – coliniare (1)

În Δ ABC: B’C’ – linie mijlocie =>B’C’ ǁ BC

În Δ AEB: NB’ – linie mijlocie =>B’N  ǁ BC => B’, N, C’ – coliniare (2)

 

În Δ ABC: B’C’ – linie mijlocie =>B’C’ ǁ BC

În Δ AFB: PB’ – linie mijlocie =>B’P  ǁ BC => B’, P, C’ – coliniare (3)

 

Din (1), (2) şi (3) => B’, M, N, P, C’ - coliniare

 

3.    3. Strategia bazată pe congruenţa a două unghiuri opuse la vârf

 

Avem A, O, B – coliniare şi dacă demontrăm că m(< AOC) Ξ m(< BOD) (asta conduce fig. I să devină fig. II) => C, O, D – coliniare

 

Aplicaţie

 

Fie paralelogramul ABCD (AB<CD), şi punctele M€AB, N€AD, astfel încât BM Ξ AD şi DN Ξ AB. Să se demontreze că C, N, M sunt coliniare.

 

ABCD paralelogram => AD IIΞ BC şi AB IIΞ DC

Din ipoteză avem BM Ξ AD, dar AD Ξ BC => BM Ξ BC => Δ BMC isoscel => m(< BMN) Ξ m(< BCN)   (1)

Din ipoteză mai avem DN Ξ AB, dar AB Ξ DC => DN Ξ DC => Δ DNC isoscel => m(< DNC) Ξ m(< DCN)  (2)

Dar AM = MB – AB şi AN = AD – ND şi pentru că MB Ξ AD şi AB Ξ ND => AM Ξ AN => Δ AMN isoscel => m(< AMN) Ξ m(< ANM)  (3)

 

Ştim că punctele A, N şi D sunt coliniare şi dacă reuşim să demonstrăm că m(< ANM) Ξ m(< DNC) atunci putem spune că şi M, N şi C sunt coliniare

 

Dar ABCD paralelogram  => BC II DN, CN secantă => m(< BCN) Ξ m(< DNC) (4) 

Din 1 şi 3 => m(< AMN) Ξ m(< BCN) Ξ m(< ANM) (5)

Din (4) şi (5) => m(< ANM) Ξ m(< DNC) => M, N şi C sunt coliniare

 

4.    4. Strategia bazată pe demonstrarea că cele trei puncte sunt situate pe o diagonală a unui  paralelogram  

Avem ABCD paralelogram, A, O, C -  o diagonală =>B, O, D – coliniare

 

Aplicaţie

Se duce mediana [AD a Δ ABC, cu [AD] Ξ [DE], D € [AE şi latura AB se prelungeşte cu [BF] Ξ [BC].Fie G punctul în care bisectoarea < ABC intersectează CE. Arătaţi că F, D şi G sunt coliniare.

AD – mediană (ip.) => CD Ξ DB

AD Ξ DE (ip.)

AE, CB diagonal în patrulaterul ABEC

 

ð  ABEC paralelogram (patrulaterul în care diagonalele se înjumătăţesc)

ð  AB Ξ CE şi AB II CE

ð                     ABF II GCE

Ştim că AF II GE şi dacă reuşim să demonstrăm că patrulaterul AFEG este paralelogram atunci putem spune că şi G, D şi F sunt coliniare (cealaltă diagonală, A-D-E ştim că sunt coliniare din ipoteză).

Avem AF II GE. Pentru a demonstra că un patrulater este paralelogram ne mai trebuie să arătăm că AF Ξ GE.

Din AF II GE, BG secantă => <B1 Ξ <G3, dar <B1 Ξ <B2 => <B2 Ξ <G3

=> Δ BGC isoscel => GC Ξ CB

În patrulaterul AFEG avem AF = AB +BF iar GE = GC + CE

Dar AB Ξ CE şi [BF] Ξ [BC] => AFEG parallelogram => F, D şi G sunt coliniare

Acestea fiind explicate, dacă întâlniţi la examen un subpunct de acest fel, încercaţi să adoptaţi una dintre strategiile prezentate mai sus şi, cu siguranţă, veţi obţine punctajul maxim !